Проценты и доли — понятия, формулы и примеры
Что такое процент и доля?
Процент — это способ выразить часть от целого в сотых долях. В математике процент обозначают знаком %: например, 25% означает 25 из 100, то есть одну четверть. Понятие доли тесно связано с процентом: доля a/b в процентах равна (a/b)·100%.
Проценты важны в повседневных задачах: скидки, налоги, процентные ставки в банке, питание и статистика. В разделе "проценты математика" учащиеся учатся переводить проценты в дроби и десятичные дроби, рассчитывать изменения и решать практические задачи.
Основные формулы и перевод между долями и процентами
Коротко о главных формулах, которые нужно запомнить:
- p% = p / 100 (процент в виде десятичной дроби). 20% = 0.2
- Часть = Основа × (p/100)
- Основа = Часть / (p/100)
- p = (Часть / Основа) × 100%
Таблица основных операций:
| Операция |
Формула |
Пример |
| Найти часть (сколько%) |
Часть = Основа × p/100 |
20% от 150 = 150×0.2 = 30 |
| Найти процент |
p = Часть/Основа × 100% |
30 из 150 → 30/150×100% = 20% |
| Увеличение на p% |
Новая = Основа × (1 + p/100) |
150 + 10% = 150×1.1 = 165 |
| Уменьшение на p% |
Новая = Основа × (1 − p/100) |
200 − 25% = 200×0.75 = 150 |
Эти формулы часто используются в уроках и задачах по теме (см. разделы с практикой).
Процент: увеличение и уменьшение
Когда говорят о "процент увеличение уменьшение", важно помнить: при последовательных изменениях проценты не складываются прямо. Например, сначала увеличить на 10%, потом уменьшить на 10% — итог не вернёт к исходному значению.
Пример: 100 → +10% → 110 → −10% → 99. Разница возникает из‑за того, что база для второго изменения уже другая.
Для последовательных множителей можно пользоваться формулой:
Новая_величина = Основа × (1 + p1/100) × (1 + p2/100) × ...
Если нужно найти суммарное изменение в процентах, можно вычислить коэффициент K и выразить процент: (K − 1) × 100%.
Пошаговые примеры с решениями
- Найти 15% от 240.
- Переводим проценты в десятичную дробь: 15% = 0.15.
- Умножаем: 240 × 0.15 = 36.
Результат: 36.
- Увеличить 200 на 12,5%.
- 12,5% = 0,125. Коэффициент увеличения = 1 + 0,125 = 1,125.
- 200 × 1,125 = 225.
- Цена товара 500 руб. Скидка 20%. Какова цена со скидкой?
- 20% = 0,20. Новая цена = 500 × (1 − 0,20) = 500 × 0,80 = 400 руб.
- Часть 18 — это какой процент от числа 120?
Эти простые пошаговые решения помогут закрепить навык перед переходом к более сложным задачам.
Типичные задачи для 7 класса (проценты задачи 7 класс)
В 7 классе чаще встречаются задачи на перевод дробей в проценты, вычисление процентов от числа и процентное изменение. Примеры заданий:
- Найти, какой процент составляет одна величина от другой.
- Рассчитать цену со скидкой и цену с учётом НДС.
- Найти число по известной части и проценту.
Пример задачи и решение:
Задача: В магазине товар уменьшили на 15%, а затем дали дополнительную скидку ещё 10% от новой цены. На сколько процентов уменьшилась цена от исходной?
Решение: Коэффициент = 0.85 × 0.90 = 0.765. Значит, новая цена = 76.5% от исходной → уменьшение = 23.5%.
Для практики по теме смотрите разделы для школьников: математика 7 класс и задачи и решения.
Частые ошибки и наглядные советы
- Ошибка 1: смешивают процентные пункты и проценты. Если ставка выросла с 5% до 7%, это увеличение на 2 процентных пункта, но относительное увеличение 40%.
- Ошибка 2: берут не ту основу (например, считают скидку от старой цены при наличии промежуточного изменения).
- Ошибка 3: округляют слишком рано — округляйте в конце решения.
- Совет: всегда пишите формулу с коэффициентом (1 ± p/100), это уменьшает число ошибок.
Онлайн‑ресурсы и интерактивная практика (проценты примеры онлайн)
Для закрепления темы используйте интерактивные и видео‑уроки, онлайн‑тренажёры и калькуляторы:
Используйте поиск по сайту в разделе математика для школьников для дополнительных материалов.
Подготовка к контрольным и дополнительные курсы
Если нужно углублённо подготовиться к контрольной, ОГЭ/ЕГЭ или олимпиадам, полезны специализированные курсы и репетиторы. Мы рекомендуем:
Комбинация теории, задач и интерактивных тренажёров даёт наилучшие результаты.
Заключение и следующий шаг — CTA
Проценты — один из самых практичных разделов математики: понимание концепций доли, перевода в проценты и работы с коэффициентами пригодится в жизни и на экзаменах. Начните с базовых формул, решайте пошаговые примеры и используйте онлайн‑тренажёры для отработки навыка.
Хотите потренироваться прямо сейчас? Перейдите к онлайн‑тренажёрам или посмотрите наши проценты уроки. При необходимости индивидуальной помощи — найти репетитора или записаться на курс в репетитор и курсы.
Удачи в изучении процентов — начните решать первые задачи прямо сейчас!