Введение
Комбинаторика и теория вероятностей — два соседних раздела математики, которые помогают считать варианты и оценивать шансы событий. В школьной программе ключевые темы: перестановки, размещения, сочетания и вычисление вероятностей. Если вы ищете понятное объяснение для подготовки к контрольной, ОГЭ или ЕГЭ, этот материал собран именно для вас: здесь вы найдёте основные формулы, правило умножения и сложения, а также типичные задачи и пошаговые решения.
Что изучают комбинаторика и вероятность
Комбинаторика математика отвечает на вопрос «сколько способов» — сколько последовательностей, наборов или упорядоченных размещений можно получить из заданного множества объектов. Вероятность математика (теория вероятностей) переводит количество благоприятных исходов в числовую оценку шанса события: от 0 (невозможно) до 1 (достоверно).
Оба раздела часто используются вместе: сначала считаем число исходов комбинаторными методами, затем делим благоприятные на общее количество, чтобы получить вероятность.
Комбинаторика математика: базовые элементы
Ниже — краткий обзор трёх ключевых понятий комбинаторики.
Перестановки
Перестановки — способы упорядочить n различных предметов. Их число равно n!. Пример: 3 книги можно расположить на полке 3! = 6 способами.
Размещения
Размещения (A(n,k)) — упорядоченные выборки k элементов из n (k ≤ n). Формула: A(n,k) = n!/(n-k)!. Пример: выбрать и расставить 3 победителя из 10 участников: A(10,3) = 10·9·8 = 720.
Сочетания
Сочетания (C(n,k)) — выборки без учёта порядка. Формула: C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Пример: из 5 фруктов выбрать 2 — C(5,2)=10.
Правило умножения и сложения
Правило умножения говорит: если событие A можно выполнить m способами, а после него событие B — n способами, то последовательность «A и B» выполняется m·n способами. Это основной приём в решении комбинаторных задач.
Правило сложения: если есть несколько взаимно исключающих вариантов (A или B), число всех способов равно сумме чисел для каждого варианта.
Пример (умножение): у вас 3 футболки и 2 пары штанов — сколько сочетаний одежды? 3·2 = 6.
Пример (сложение): выбрать либо книгу из 4 научных, либо из 3 художественных — всего 4+3 = 7 вариантов.
Комбинаторные формулы
Ниже таблица с основными формулами — полезно держать под рукой.
| Операция |
Формула |
Пример |
| Факториал |
n! = n·(n−1)! |
5! = 120 |
| Перестановки |
P(n) = n! |
4! = 24 |
| Размещения |
A(n,k) = n!/(n−k)! |
A(5,3) = 60 |
| Сочетания |
C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) |
C(5,2) = 10 |
| Сочетания с повторениями |
C(n+k−1,k) |
выбрать 3 конфеты из 5 видов |
Эти комбинаторные формулы позволяют быстро перейти от описания задачи к численному ответу.
Вероятность математика: основные понятия
В дискретном случае, когда все элементарные исходы равновероятны,
P(A) = (число благоприятных исходов) / (общее число исходов).
Кроме простых задач, важны условная вероятность и независимость событий — когда вероятность одного события не зависит от того, произошло ли другое.
Примеры и задачи на вероятности (разбор)
Ниже — типичные школьные задачи с пояснениями.
Задача 1 — монеты:
Три раза подбрасывают честную монету. Найти вероятность ровно двух орлов.
Решение: Всего 2^3 = 8 равновероятных исходов. Число исходов с ровно двумя орлами — C(3,2) = 3. Значит P = 3/8.
Задача 2 — урна:
В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Берут два шара без возвращения. Найти вероятность, что оба белые.
Решение: Сочетательный подход: C(3,2)/C(5,2) = 3/10. Или по правилу умножения: (3/5)·(2/4)=6/20=3/10.
Задача 3 — карты:
Из колоды 52 карты вытаскивают 2 карты. Найти вероятность, что обе — тузы.
Решение: C(4,2)/C(52,2) = 6/1326 = 1/221 ≈ 0.00452.
Эти примеры демонстрируют, как сочетать комбинаторные формулы и правило умножения для решения задач на вероятность.
Где практиковаться и готовиться
Для закрепления полезны задачи разного уровня сложности и интерактивная тренировка. На нашем сайте вы можете найти:
Советы по подготовке: учите базовые формулы, рисуйте деревья исходов, проверяйте решения двумя методами (комбинаторный и «вероятностный» — через умножение дробей).
Для более глубокого изучения см. разделы по дискретной математике и комбинированию: Дискретная математика и основной раздел для школьников Математика для школьников.
Заключение и CTA
Комбинаторика и вероятность — практичные навыки: они развивают логическое мышление и прямо нужны в экзаменах, олимпиадах и прикладных задачах. Начните с простых перестановок и сочетаний, отработайте правило умножения и сложения, а затем переходите к типичным задачам на вероятность.
Хотите системную подготовку? Пройдите уроки и тренажёры на нашем сайте: онлайн-тренировки и курсы или ознакомьтесь с платными курсами для углублённой подготовки — Подробнее о курсах.
Удачи в решениях! Если нужно — пришлите конкретную задачу, и мы разберём её шаг за шагом.